Question

9．若不等式組$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ x+3y≥4\\ 3x+y≤4\end{array}$所表示的平面區(qū)域被直線y=kx+$\frac{4}{3}$分為面積比為1：2的兩部分，則k的一個(gè)值為（　�。�

• A． $\frac{7}{3}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． 1
• D． $\frac{3}{7}$

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，求出陰影部分的面積，根據(jù)面積比是1：2，即可確定k的值．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
則A（0，4），B（0，$\frac{4}{3}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+3y=4}\\{3x+y=4}\end{array}\right.$，解得C（1，1），
則三角形ABC的面積S=$\frac{1}{2}$×（4-$\frac{4}{3}$）×1=$\frac{4}{3}$，
∵平面區(qū)域被直線y=kx+$\frac{4}{3}$分成面積比是1：2的兩部分，
∴面積較小的面積為$\frac{4}{3}×\frac{1}{3}=\frac{4}{9}$，
∵直線y=kx+$\frac{4}{3}$過(guò)定點(diǎn)B（0，$\frac{4}{3}$），
若△ABD的面積為$\frac{4}{9}$，則S=$\frac{1}{2}×\frac{8}{3}{x}_{D}=\frac{4}{9}$，解得x_D=$\frac{1}{3}$，由$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}}\\{3x+y=4}\end{array}\right.$，
解得D（$\frac{1}{3}$，3），此時(shí)BD的斜率k=$\frac{3-\frac{4}{3}}{\frac{1}{3}-0}=5$．
若△ABE的面積為$\frac{4}{3}×\frac{2}{3}=\frac{8}{9}$，則S=$\frac{1}{2}×\frac{8}{3}×{x}_{E}=\frac{8}{9}$，x_E=$\frac{2}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{3}}\\{3x+y=4}\end{array}\right.$，
解得E（$\frac{2}{3}$，2），此時(shí)BE的斜率k=1；
故k=5或k=1；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)三角形的面積公式求出滿足條件的直線的位置關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．