Question

17．已知y=f（x）是偶函數(shù)，而y=f（x+1）是奇函數(shù)，且對任意0≤x≤1，都有f′（x）≥0，成立，則a=f（2010），b=f（$\frac{5}{4}$），c=-f（$\frac{1}{2}$）的大小關(guān)系是（　�。�

• A． a≤b≤c
• B． c≤b≤a
• C． b≤c≤a
• D． a≤c≤b

Answer 1

分析 y=f（x+1）是奇函數(shù)，可得f（-x+1）=-f（x+1），以x+1代替x可得：f（-x）=-f（x+2），由于y=f（x）是偶函數(shù)，可得f（x+2）=-f（x），進而得到f（x+4）=-f（x+2）=f（x）．函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)，T=4．可得a=f（2010）=f（2）=-f（0），b=f（$\frac{5}{4}$）=$f（2-\frac{3}{4}）$=-$f（\frac{3}{4}）$．由于對任意0≤x≤1，都有f′（x）≥0成立，可得函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，或為常數(shù)函數(shù)．即可得出．

解答 解：∵y=f（x+1）是奇函數(shù)，∴f（-x+1）=-f（x+1），以x+1代替x可得：f（-x）=-f（x+2），∵y=f（x）是偶函數(shù)，∴f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x）．
∴函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)，T=4．
∴a=f（2010）=f（502×4+2）=f（2）=-f（0），
b=f（$\frac{5}{4}$）=$f（2-\frac{3}{4}）$=-$f（\frac{3}{4}）$，c=-f（$\frac{1}{2}$）．
∵對任意0≤x≤1，都有f′（x）≥0成立，
∴函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，或為常數(shù)函數(shù)．
∴f（0）≤$f（\frac{1}{2}）$≤$f（\frac{3}{4}）$，
∴-f（0）≥-$f（\frac{1}{2}）$≥-$f（\frac{3}{4}）$，
∴a≥c≥b．
故選：C．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性周期性、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．