Question

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）為二次函數(shù)，且f（0）=1，f（x+1）=f（x）+2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若3≤x≤4時(shí)，t≤f（x）≤2t+7恒成立，求實(shí)數(shù)t的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)解析式特征，代入整體求解，利用恒成立，再根據(jù)奇偶性求解．
（2）分離參數(shù)t 求解即可．

解答： 解：（1）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）為二次函數(shù)，
設(shè)當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=ax²+bx+c，
∵f（0）=1，f（x+1）=f（x）+2x，
∴c=1，a（x+1）²+b（x+1）+1=ax²+bx+1，
ax²+（2a+b）x+a+b+1=ax²+（b+2）x+1恒成立，
∴a+b=0.2a+b=b+2
即a=1，b=-1，
所以當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x²-x+1，
當(dāng)x≤0時(shí)，則-x≥0，f（x）=f（-x）=x²+x+1．
即f（x）=

x2-x+1，x≥0 x2+x+1，x＜0

，．
（2）當(dāng)3≤x≤4時(shí)t≤f（x）≤2t+7恒成立，即t≤x²-x+1≤2t+7恒成立，

t≤x2-x+1 t≥ x2 2 - x 2 -3

構(gòu)造函數(shù)，在[3，4]上都為增函數(shù)，解其在[3，4]上的最值，
可得：t∈[3，7]

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用函數(shù)思想解決問題．