【題目】如圖,在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F為棱AD、AB的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:EF∥平面CB1D1
(Ⅱ)求證:平面CAA1C1⊥平面CB1D1

【答案】解:(Ⅰ)證明:連接BD.

在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,對(duì)角線BD∥B1D1
又因?yàn)镋、F為棱AD、AB的中點(diǎn),
所以EF∥BD.
所以EF∥B1D1
又B1D1平面CB1D1 , EF平面CB1D1 ,
所以EF∥平面CB1D1
(Ⅱ)因?yàn)樵谡襟wABCD﹣A1B1C1D1中,
AA1⊥平面A1B1C1D1 , 而B1D1平面A1B1C1D1
所以AA1⊥B1D1
又因?yàn)锳1C1⊥B1D1
所以B1D1⊥平面CAA1C1
又因?yàn)锽1D1平面CB1D1
所以平面CAA1C1⊥平面CB1D1
【解析】(Ⅰ)欲證EF∥平面CB1D1 , 根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證EF與平面CB1D1內(nèi)一直線平行,連接BD,根據(jù)中位線可知EF∥BD,則EF∥B1D1 , 又B1D1平面CB1D1 , EF平面CB1D1 , 滿足定理所需條件;(Ⅱ)欲證平面CAA1C1⊥平面CB1D1 , 根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面CB1D1內(nèi)一直線與平面CAA1C1垂直,而AA1⊥平面A1B1C1D1 , B1D1平面A1B1C1D1 , 則AA1⊥B1D1 , A1C1⊥B1D1 , 滿足線面垂直的判定定理則B1D1⊥平面CAA1C1 , 而B1D1平面CB1D1 , 滿足定理所需條件.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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