Question

7．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₈=4，a₁₃=14．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求S_n 的最小值及相應(yīng)的n的值；
（3）在公比為q的等比數(shù)列{b_n}中，b₂=a₈，b₁+b₂+b₃=a₁₃，求q+q⁴+q⁷+…+q³ⁿ⁺⁴．

Answer 1

分析 （1）建立方程組關(guān)系求出首項(xiàng)和公差即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求出S_n 的表達(dá)式，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可求最小值及相應(yīng)的n的值；
（3）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公比，結(jié)合等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵a₈=4，a₁₃=14．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+7d=4}\\{{a}_{1}+12d=14}\end{array}\right.$，解得a₁=-10，d=2，
則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=-10+2（n-1）=2n-12．
（2）S_n =$\frac{n（-10+2n-12）}{2}$=n（n-12）=n²-12n=（n-6）²-36，
∴當(dāng)n=6時(shí)，S_n 取得最小值，
最小值為-36，此時(shí)相應(yīng)的n=6；
（3）∵b₂=a₈=4，b₁+b₂+b₃=a₁₃=14，
∴b₁+b₃=14-4=10，
設(shè)公比為q，
則$\left\{\begin{array}{l}{_{1}q=4}\\{_{1}+_{1}{q}^{2}=10}\end{array}\right.$，
則$\frac{1+{q}^{2}}{q}$=$\frac{5}{2}$，
即2q²-5q+2=0，
解得q=2或q=$\frac{1}{2}$．
若q=2，則q+q⁴+q⁷+…+q³ⁿ⁺⁴=$\frac{q[1-（{q}^{3}）^{n+2}]}{1-{q}^{3}}$=$\frac{2（1-{8}^{n+2}）}{1-8}$=$\frac{2}{7}$（8ⁿ⁺²-1），
若q=$\frac{1}{2}$，則q+q⁴+q⁷+…+q³ⁿ⁺⁴=$\frac{q[1-（{q}^{3}）^{n+2}]}{1-{q}^{3}}$=$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{8}）^{n+2}]}{1-\frac{1}{8}}$=$\frac{4}{7}$[1-（$\frac{1}{8}$）ⁿ⁺²]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等比數(shù)列和等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，以及數(shù)列求和的計(jì)算，利用方程組思想求出首項(xiàng)和公比，公差是解決本題的關(guān)鍵．