Question

【題目】已知為坐標原點，拋物線上在第一象限內(nèi)的點到焦點的距離為，曲線在點處的切線交軸于點，直線經(jīng)過點且垂直于軸．

（Ⅰ）求點的坐標；

（Ⅱ）設(shè)不經(jīng)過點和的動直線交曲線于點和，交于點，若直線，，的斜率依次成等差數(shù)列，試問：是否過定點？請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）恒過定點．

【解析】試題分析：（1）拋物線上在第一象限內(nèi)的點到焦點的距離為，可求出n，得到拋物線方程，求導(dǎo)得斜率，寫出切線方程；（2）設(shè)，聯(lián)立拋物線方程，消元得，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，，寫出，，的斜率，根據(jù)成等差數(shù)列求不，即可證明直線過定點.

試題解析：

（Ⅰ）由拋物線上的點到焦點的距離為，得，所以，則拋物線方程為，故曲線在點處的切線斜率，切線方程為，令得，所以點．

（Ⅱ）由題意知，因為與相交，所以．

設(shè)，令，得，故，

設(shè)，，

由消去得，則，，直線的斜率為，同理直線的斜率為，直線的斜率為．因為直線，，的斜率依次成等差數(shù)列，

所以，即，即整理得：，

因為不經(jīng)過點，所以，所以．故，即恒過定點．