Question

【題目】已知函數(shù)f(x)在(－1，1)上有定義，當且僅當0<x<1時f(x)<0,且對任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試證明

(1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞減

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）見解析.

【解析】

（1）令x=y=0可得f（0）=0，令y=-x，可得f（-x）=-f（x），故得證；（2）由單調(diào)性的定義，任取x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，由性質(zhì)可得可得f(x2)－f(x1)=f(x2)+f(－x1)=f(，由已知可判f()<0，進而得證．

證明：(1)由f(x)+f(y)=f()可令x=y=0,得f(0)=0,

令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0 ∴f(x)=－f(－x) ∴f(x)為奇函數(shù)

(2)先證f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減

令0<x1<x2<1,則f(x2)－f(x1)=f(x2)+f(－x1)=f()

∵0<x1<x2<1,∴x2－x1>0,1－x1x2>0，∴>0,

又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0，∴x2－x1<1－x2x1,

∴0<<1,由題意知f()<0， 即　f(x2)<f(x1)

∴f(x)在(0，1)上為減函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)且f(0)=0

∴f(x)在(－1，1)上為減函數(shù)