Question

設(shè)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），過M（2，

2

）、N（

6

，1）兩點，O為坐標(biāo)原點．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若直線y=kx+4（k＞0）與圓x²+y²=

8

3

相切，并且與橢圓E相交于兩點A、B，求證：

OA

⊥

OB

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用代入法可求橢圓E的方程；
（Ⅱ）聯(lián)立與橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量的數(shù)量積坐標(biāo)公式，證明x₁x₂+y₁y₂=0，從而解決問題．

解答： （Ⅰ）解：因為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），過M（2，

2

）、N（

6

，1）兩點，
所以

4 a2 + 2 b2 =1 6 a2 + 1 b2 =1

，所以

a2=8 b2=4

…（3分）
所以橢圓E的方程為

x2

8

+

y2

4

=1                …（4分）
（2）解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意得：d=

4

1+k2

=

2 6

3

，
所以k=

5

…（6分）
聯(lián)立直線與橢圓方程可得11x²+16

5

x+24=0，
有x₁+x₂=-

16

11

5

，x₁x₂=

24

11

 …（9分）
所以x₁x₂+y₁y₂=6x₁x₂+4

5

（x₁+x₂）+16=0  …（12分）
所以

OA

⊥

OB

 …（13分）

點評：本題考查的知識點是直線與圓的位置關(guān)系，直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，其中根據(jù)已知條件求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是解答本題的關(guān)鍵．