Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=﹣x3+3x2+9x+a（a為常數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若f（x）在區(qū)間[﹣2，2]上的最大值是20，求f（x）在該區(qū)間上的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f′（x）=﹣3x2+6x+9．

令f′（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞3，

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，﹣1），（3，+∞）

（2）解：∵f（x）=﹣x3+3x2+9x+a，∴f′（x）=﹣3x2+6x+9≥0，得x2﹣2x﹣3≤0，﹣1≤x≤3，列表如下；

x	﹣2	（﹣2，﹣1）	﹣1	（﹣1，2）	2
f′（x）		﹣	0	+
f（x）	a﹣14	遞減	a﹣5	遞增	a+ 22

∴f（x）最大值=f（2）=a+22，∴a+22=20，∴a=﹣2，∴f（x）最小值=f（﹣1）=a﹣5=﹣7

故函數(shù)的最小值是﹣7

【解析】（1）出導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)小于0，解不等式求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（2）先求出端點(diǎn)的函數(shù)值f（﹣2）與f（2），比較f（2）與f（﹣2）的大小，然后根據(jù)函數(shù)f（x）在[﹣1，2]上單調(diào)遞增，在[﹣2，﹣1]上單調(diào)遞減，得到f（2）和f（﹣1）分別是f（x）在區(qū)間[﹣2，2]上的最大值和最小值，建立等式關(guān)系求出a，從而求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣2，2]上的最小值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．