Question

10．若對于任意實數(shù)x∈[e，e²]，不等式$\frac{{e}^{m}}{2}$＞x-$\frac{{e}^{2}}{lnx}$恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 （　�。�

• A． （-∞，-2）
• B． （-∞，2）
• C． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)，確定單調(diào)性，求出最大值，即可求得m的取值范圍．

解答 解：設(shè)y=x-$\frac{{e}^{2}}{lnx}$，則y′=1+$\frac{{e}^{2}}{x（lnx）^{2}}$＞0，
函數(shù)在x∈[e，e²]上單調(diào)遞增，∴y_max=$\frac{1}{2}$e²，
∵對于任意實數(shù)x∈[e，e²]，不等式$\frac{{e}^{m}}{2}$＞x-$\frac{{e}^{2}}{lnx}$恒成立，
∴$\frac{{e}^{m}}{2}$＞$\frac{1}{2}$e²，
∴m＞2，
故選：D．

點評 本題考查求實數(shù)的取值范圍，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，正確構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵．