Question

如圖1，橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁F₂，左、右頂點分別為A₁，A₂，T（1，

3

2

）為橢圓上一點，且TF₂垂直于x軸．

（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）給出命題：“已知P是橢圓E上異于A₁，A₂的一點，直線 A₁P，A₂P分別交直線l：x=t（t為常數(shù)）于不同兩點M，N，點Q在直線l上．若直線PQ與橢圓E有且只有一個公共點P，則Q為線段MN的中點”，寫出此命題的逆命題，判斷你所寫出的命題的真假，并加以證明；
（Ⅲ）試研究（Ⅱ）的結(jié)論，根據(jù)你的研究心得，在圖2中作出與該雙曲線有且只有一個公共點S的直線m，并寫出作圖步驟．注意：所作的直線不能與雙曲線的漸近線平行．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)T（1，

3

2

）為橢圓上一點，且TF₂垂直于x軸，求出c，利用橢圓的定義，求出a，即可求橢圓E的方程；
（Ⅱ）逆命題為真命題．設(shè)P（x₀，y₀）（x₀≠±2），求出A₁P，A₂P的方程，可得M，N的坐標(biāo)，進而可得Q的坐標(biāo)，求出PQ的方程，代入橢圓方程，求出△=0，即可得出結(jié)論；
（Ⅲ）利用（Ⅱ），可得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵T（1，

3

2

）為橢圓上一點，且TF₂垂直于x軸，
∴c=1，
在Rt△TF₁F₂，|TF₂|=

3

2

，|F₁F₂|=2，∴|TF₁|=

5

2

，
∴2a=|TF₁|+|TF₂|=4，
∴a=2，
∴b=

a2-c2

=

3

∴橢圓E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）逆命題：“已知P是橢圓E上異于A₁，A₂的一點，直線 A₁P，A₂P分別交直線l：x=t（t為常數(shù)）于不同兩點M，N，點Q在直線l上．若Q為線段MN的中點，則直線PQ與橢圓E有且只有一個公共點P”，為真命題．
證明如下：設(shè)P（x₀，y₀）（x₀≠±2），則

x02

4

+

y02

3

=1，
l_A1P：y=

y0

x0+2

（x+2）；l_A2P：y=

y0

x0-2

（x-2），
∴M（t，

y0(t+2)

x0+2

），N（t，

y0(t-2)

x0-2

），
設(shè)MN的中點為Q（x₁，y₁），則x₁=t，y₁=

y0(x0t-4)

x02-4

，
∵x02-4=

-4y02

3

，
∴y₁=

y0(x0t-4)

x02-4

=

-3(x0t-4)

4y0

，
∴Q（t，

-3(x0t-4)

4y0

），
∴k_PQ=

-3(x0t-4) 4y0 -y0

t-x0

=

-3x0

4y0

，
∴PQ的方程為y=

-3x0

4y0

（x-x₀）+y₀，即y=

-3x0

4y0

x+

3

y0

代入橢圓方程，消去y可得

3

4y02

x²-

3x0

2y02

x+

3

y02

-1=0，
∴△=（

3x0

2y02

）2-4•

3

4y02

•（

3

y02

-1）=

9x02+12y02-36

4y04

=0，
∴直線PQ與橢圓E有且只有一個公共點P；
（Ⅲ）如圖，①任作一條不過點S的直線n垂直于雙曲線的實軸；②作直線A₁S，A₂S分別交直線n于I，J兩點；③作線段IJ的中點V，連接SV，則直線SV即為所求的直線m．

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．