在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，線段MN分別交BC，AB于點M，N，若線段MN分△ABC為面積相等的兩部分，求線段MN長度的最小值．
考點：直線的截距式方程
專題：直線與圓
分析：由題意可知△ABC為直角三角形，以CA所在直線為x軸，以CB所在直線為y軸建立平面直角坐標系，設(shè)出MN所在直線方程y=kx+b，求出AB所在直線方程，聯(lián)立求得N的坐標，由△MBN的面積是△ABC面積的一半得到k與b的關(guān)系，由兩點間的距離公式得到|MN|，轉(zhuǎn)化為含有k的代數(shù)式后利用基本不等式求最值．
解答： 解：如圖，

以CA所在直線為x軸，以CB所在直線為y軸建立平面直角坐標系，
由題意可知直線MN的斜率存在，
設(shè)其所在直線方程為y=kx+b，
則k＞-
4
3
，0＜b＜4，
AB所在直線方程為
x
3
+
y
4
=1，
聯(lián)立
y=kx+b
4x+3y-12=0
，得
x=
12-3b
3k+4
y=
12k+4b
3k+4
，
∴N（
12-3b
3k+4
，
12k+4b
3k+4
），
又|BM|=4-b，
∴S△MNB=
1
2
•(4-b)•
12-3b
3k+4
=
1
4
×3×4，
整理得：b2-8b=6k-8．
|MN|=
(
12-3b
3k+4
)2+(
12k+4b
3k+4
-b)2

=3
2
k2+1
3k+4
=3
2
1
9
(3k+4)+
25
9
•
1
3k+4
-
8
9

≥3
2
2×
5
9
-
8
9
=2．
當且僅當
3k+4
9
=
25
9(3k+4)
，即k=
1
3
時上式等號成立．
∴MN長度的最小值為2．
點評：本題考查了直線的截距式方程，考查了利用基本不等式求最值，考查了學生的靈活變換能力和計算能力，是中檔題．
練習冊系列答案
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圓x2-2x+y2=0的圓心C到拋物線y2=4x的準線l的距離為
 
．

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如圖1，橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1F2，左、右頂點分別為A1，A2，T（1，
3
2
）為橢圓上一點，且TF2垂直于x軸．

（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）給出命題：“已知P是橢圓E上異于A1，A2的一點，直線 A1P，A2P分別交直線l：x=t（t為常數(shù)）于不同兩點M，N，點Q在直線l上．若直線PQ與橢圓E有且只有一個公共點P，則Q為線段MN的中點”，寫出此命題的逆命題，判斷你所寫出的命題的真假，并加以證明；
（Ⅲ）試研究（Ⅱ）的結(jié)論，根據(jù)你的研究心得，在圖2中作出與該雙曲線有且只有一個公共點S的直線m，并寫出作圖步驟．注意：所作的直線不能與雙曲線的漸近線平行．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

解不等式
1
x+4
+
1
x+7
＞
1
x+5
+
1
x+6
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，等邊△ABC中，AB=3，O為中心，過O的直線交AB于M，交AC于N，設(shè)∠AOM=θ（0≤θ≤120°），當θ分別為何值時，
1
OM
+
1
ON
取得最大和最小值，并求出其最大和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

當-1≤x≤1時，求關(guān)于x的一元二次函數(shù)y=x2-2tx+1的最小值與最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）是R上的奇函數(shù)，且f（x）的圖象關(guān)于x=1對稱，當x∈[0，1]時，f（x）=2x-1
（1）求證：f（x）是周期函數(shù)；
（2）當x∈[1，2]時，求f（x）的解析式；
（3）計算f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2013）的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），過點A（-a，0），B（0，b）的直線的傾斜角為
π
6
，原點到該直線的距離為
2
2
，
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在實數(shù)k，直線y=kx+2交橢圓于Q，P兩點，以PQ為直徑的圓過點D（-1，0），若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）為一次函數(shù)，且f（x）=x+3
∫
1
0
f（t）dt，則f（x）=
 
．

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