Question

已知數(shù)列{a_n}滿足下列條件：
①首項(xiàng)a₁=a，（a＞3，a∈N^*）；
②當(dāng)a_n=3k，（k∈N^*）時，a_n+1=

an

3

；
③當(dāng)a_n≠3k，（k∈N^*）時，a_n+1=a_n+1．
（Ⅰ）當(dāng)a₄=1，求首項(xiàng)a之值；
（Ⅱ）當(dāng)a=2014時，求a₂₀₁₄；
（Ⅲ）試證：正整數(shù)3必為數(shù)列{a_n}中的某一項(xiàng)．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）當(dāng)a₄=1時，則a₃=3，再考慮a₂，即可得出結(jié)論；
（II）當(dāng)a=2014時，求出數(shù)列的項(xiàng)，得出期為3的數(shù)列，即可求出a₂₀₁₄；
（Ⅲ）分類討論，證明當(dāng)a_n＞3時，必有a_n-a_n+3＞0，因an∈N*，故a_n-a_n+3≥1，即可得出結(jié)論．

解答： （I）解：當(dāng)a₄=1時，因?yàn)閍_n+1=

an

3

，所以a₃=3，
此時，若a₂=2，則a=6；
若a₂=9，則a=27或8，
綜上所述，a之值為6或8或27．                       …（4分）
（II）解：當(dāng)a=2014時，a₂=2015，a₃=2016，a₄=672，a₅=224，
a₆=225，a₇=75，a₈=25，a₉=26，a₁₀=27，a₁₁=9，a₁₂=3，a₁₃=1，a₁₄=2，a₁₅=3，
以下出現(xiàn)周期為3的數(shù)列，
從而a₂₀₁₄=a₁₃=1；        …（8分）
（III）證明：由條件知：若an=3k，(k∈N*)，則an+1=

an

3

，an+3≤

an

3

+2；
若an=3k+1，(k∈N*)，則a_n+1=a_n+1=3k+2，a_n+2=3k+3，
an+3=k+1＜

1

3

an+2；
若an=3k+2，(k∈N*)，則a_n+1=a_n+1=3k+3，an+2=

1

3

(an+1)，an+3≤

1

3

(an+1)+1＜

1

3

an+2；                             …（13分）
綜上所述，an+3≤

1

3

an+2，從而an-an+3≥

2

3

(an-3)，
故當(dāng)a_n＞3時，必有a_n-a_n+3＞0，因an∈N*，故a_n-a_n+3≥1，
所以數(shù)列{a_n}中必存在某一項(xiàng)a_m≤3（否則會與上述結(jié)論矛盾�。�
若a_m=3，則a_m+1=1，a_m+2=2；
若a_m=2，則a_m+1=3，a_m+2=1，
若a_m=1，則a_m+1=2，a_m+2=3，
綜上所述，正整數(shù)3必為數(shù)列{a_n}中的某一項(xiàng)．              …（16分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．