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(本小題滿分16分)

在平面直角坐標系xOy中,橢圓C:(a>b>0)的上頂點到焦點的距離為2,離心率為

(1)求a,b的值.

(2)設P是橢圓C長軸上的一個動點,過點P作斜率為k的直線l交橢圓C于A、B兩點.

(。┤鬹=1,求△OAB面積的最大值;

(ⅱ)若PA2+PB2的值與點P的位置無關,求k的值.

(1)+y2=1.(2)(。﹎=±時,S△OAB取得最大值1.(ⅱ)±.

【解析】

試題分析:(1)由橢圓幾何條件知上頂點到焦點的距離為半長軸長,即a=2,又e,所以c=,故b=1.(2)(ⅰ)求△OAB面積的最大值,關鍵建立其函數關系式,這要用到點到直線距離公式來求高,利用兩點間距離公式來求底邊邊長:設點P(m,0)(-2≤m≤2),直線l的方程為y=x-m.則可求得∣AB|=,高為,從而S△OAB=×|m|,利用基本不等式求最值(ⅱ)由題意先表示出PA2+PB2,再按m整理,最后根據與點P的位置無關得到對應項系數為零,從而解出k的值.

試題解析:(1)由題設可知a=2,e,所以c=,故b=1.

因此,a=2,b=1. 2分

(2)由(1)可得,橢圓C的方程為+y2=1.

設點P(m,0)(-2≤m≤2),點A(x1,y1),點B(x2,y2).

(ⅰ)若k=1,則直線l的方程為y=x-m.

聯立直線l與橢圓C的方程,即.將y消去,化簡得

-2mx+m2-1=0.從而有x1+x2=, x1· x2=,

而y1=x1-m,y2=x2-m,

因此,∣AB|=

點O到直線l的距離d=

所以,S△OAB=×|AB|×d=×|m|,

因此,S2△OAB= ( 5-m2)×m2≤=1.

6分

又-2≤m≤2,即m2∈[0,4].

所以,當5-m2=m2,即m2=, m=±時,S△OAB取得最大值1.

8分

(ⅱ)設直線l的方程為y=k(x-m).

將直線l與橢圓C的方程聯立,即

將y消去,化簡得(1+4k2)x2-8mk2x+4(k2m2-1)=0,解此方程,可得,

x1+x2=,x1·x2=

10分

所以,

PA2+PB2=(x1-m)2+y12+(x2-m)2+y22= (x12+x22)-2m(x1+x2)+2m2+2

(*). 14分

因為PA2+PB2的值與點P的位置無關,即(*)式取值與m無關,

所以有-8k4-6k2+2=0,解得k=±

所以,k的值為±. 16分

考點:橢圓基本量,直線與橢圓位置關系

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