Question

甲、乙、丙三人獨(dú)立地對某一技術(shù)難題進(jìn)行攻關(guān)．甲能攻克的概率為

2

3

，乙能攻克的概率為

3

4

，丙能攻克的概率為

4

5

．
（1）求這一技術(shù)難題被攻克的概率；
（2）若該技術(shù)難題末被攻克，上級不做任何獎(jiǎng)勵(lì)；若該技術(shù)難題被攻克，上級會獎(jiǎng)勵(lì)a萬元．獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：若只有1人攻克，則此人獲得全部獎(jiǎng)金a萬元；若只有2人攻克，則獎(jiǎng)金獎(jiǎng)給此二人，每人各得

a

2

萬元；若三人均攻克，則獎(jiǎng)金獎(jiǎng)給此三人，每人各得

a

3

萬元．設(shè)甲得到的獎(jiǎng)金數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）利用相互獨(dú)立事件的概率求不能被攻克的概率，然后利用對立事件的概率求解；
（2）分別求出隨機(jī)變量X取為0，

a

3

，

a

2

，a的概率，列出分布列，然后直接代入期望公式求期望．

解答：解：（1）P=1-(1-

2

3

)(1-

3

4

)(1-

4

5

)=1-

1

3

×

1

4

×

1

5

=

59

60

；    
（2）X的可能取值分別為0，

a

3

，

a

2

，a
P(X=0)=

1

3

，P(X=

a

3

)=

2

3

×

3

4

×

4

5

=

2

5

，
P(X=

a

2

)=

2

3

×

3

4

×

1

5

+

2

3

×

1

4

×

4

5

=

7

30

，P(x=a)=

2

3

×

1

4

×

1

5

=

1

30

，
∴X的分布列為

X	0	a 3	a 2	a
P	1 3	2 5	7 30	1 30

EX=0×

1

3

+

a

3

×

2

5

+

a

2

×

7

30

+a×

1

30

=

17a

60

 （萬元）．

點(diǎn)評：本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列及期望，考查了相互獨(dú)立事件的概率公式，解答的關(guān)鍵是正確求出隨機(jī)變量在不同取值時(shí)的概率，是中檔題．