Question

函數(shù)f（x）=ax³-3x+1對(duì)于x∈[-1，1]總有f（x）≥0成立，則a的取值集合為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）=ax³-3x+1≥0可化為：a≥

3

x2

-

1

x3

，設(shè)g（x）=

3

x2

-

1

x3

，則g′（x）=

3(1-2x)

x4

，由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出a≥4；x∈[-1，0）時(shí)，求出a≤4，由此求出a=4．

解答： 解：若x=0，則不論a取何值，f（x）≥0都成立；
當(dāng)x＞0即x∈（0，1]時(shí)，f（x）=ax³-3x+1≥0可化為：
a≥

3

x2

-

1

x3

，
設(shè)g（x）=

3

x2

-

1

x3

，則g′（x）=

3(1-2x)

x4

，
所以g（x）在區(qū)間（0，

1

2

]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[

1

2

，1]上單調(diào)遞減，
因此g（x）_max=g（

1

2

）=4，從而a≥4；
當(dāng)x＜0即x∈[-1，0）時(shí)，f（x）=ax³-3x+1≥0可化為：a≤

3

x2

-

1

x3

，
g（x）=

3

x2

-

1

x3

，在區(qū)間[-1，0）上單調(diào)遞增，
因此g（x）_min=g（-1）=4，從而a≤4，
綜上a=4．
故答案為：{4}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．