Question

已知函數(shù)f（x）=3^x，且f（a+2）=27，g（x）=2^ax-4^x的定義域?yàn)閰^(qū)間[-1，1]，求
（1）g（x）的解析式；
（2）若g（x）在[-1，1]上值域?yàn)锳，且A⊆[m-4，3m-2]，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域,集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,集合

分析：（1）由函數(shù)解析式求出f（a+2），這樣便可建立關(guān)于a的方程，解方程即得a．
（2）將g（x）變成：g（x）=-(2x-

1

2

)2+

1

4

，根據(jù)x的范圍求2^x的范圍，這樣根據(jù)2^x的取值即可求得g（x）值域A，然后根據(jù)A⊆[m-4，3m-2]，即可求出m的取值范圍．

解答： 解：（1）f（a+2）=3^a+2=27；
∴a=1；
∴g（x）=2^x-4^x；
（2）g（x）=2x-22x=-(2x-

1

2

)2+

1

4

；
∵x∈[-1，1]，∴2^x∈[

1

2

，2]；
∴2x=

1

2

時(shí)g（x）取最大值

1

4

，2^x=2時(shí)g（x）取最小值-2；
∴g（x）在[-1，1]上的值域是A=[-2，

1

4

]．
∵A⊆[m-4，3m-2]；

-2≥m-4 1≤3m-2 3m-2＞m-4

，解得1≤m≤2．
∴m的取值范圍是[1，2]．

點(diǎn)評(píng)：考查求函數(shù)值，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求2^x的范圍，通過配方求二次函數(shù)值域的方法，子集的概念．