Question

18．已知函數(shù)f（x）=2^x-$\frac{1}{{2}^{|x|}}$
（1）若f（x）=0，求x的值：
（2）若2^t+mf（t）≥0對(duì)于t∈[1，2]恒成立．求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)f（x）=0，然后，針對(duì)x進(jìn)行討論；
（2）由2^t+mf（t）≥0對(duì)于t∈[1，2]恒成立，得2^t+mf（t）=${2}^{t}+m（{2}^{t}-\frac{1}{{2}^{|t|}}）$≥0對(duì)于t∈[1，2]恒成立，整理后分離參數(shù)m，利用配方法求出含有變量t的函數(shù)的最大值得答案．

解答 解：（1）由f（x）=0，得2^x-2^-|x|=0，
當(dāng)x≥0時(shí)，2^x-2^-x=0，化簡(jiǎn)得，4^x=1，∴x=0，
當(dāng)x＜0，2^x-2^x=0，此式恒成立．
綜上，x的值（-∞，0]．
（2）2^t+mf（t）≥0對(duì)于t∈[1，2]恒成立，
即2^t+mf（t）=${2}^{t}+m（{2}^{t}-\frac{1}{{2}^{|t|}}）$=${2}^{t}+m（{2}^{t}-\frac{1}{{2}^{t}}）$≥0對(duì)于t∈[1，2]恒成立，
∵2^2t-1＞0，
∴m≥-$\frac{{2}^{2t}}{{2}^{2t}-1}$=$-\frac{1}{1-\frac{1}{{2}^{2t}}}$，
∵t∈[1，2]，
∴$-\frac{1}{1-\frac{1}{{2}^{2t}}}∈[-\frac{4}{3}，-\frac{16}{15}]$，
∴m≥$-\frac{16}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)恒成立問題，恒成立問題多需要轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化過程中往往包含著多種數(shù)學(xué)思想的綜合運(yùn)用，同時(shí)轉(zhuǎn)化過程更提出了等價(jià)的意識(shí)和要求，是中檔題．