Question

6．求證：4ⁿ＞（n+3）•3^n-1（n∈N^*，且n＞2）

Answer 1

分析 利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明，當(dāng)n=k+1≥3（k∈N^*）時(shí)，注意放縮．

解答 證明：（1）當(dāng)n=3時(shí)，左邊=4³=64，右邊=6×3²=54，∴左邊＞右邊，不等式成立；
（2）假設(shè)n=k≥3（k∈N^*）時(shí)成立，即4^k＞（k+3）•3^k-1．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=4^k+1=4•4^k＞4×（k+3）•3^k-1．
∵4（k+3）＞3（k+4），
∴4×（k+3）•3^k-1＞3（k+4）•3^k-1=（k+1+3）•3^k+1-1，
∴左邊=4^k+1＞4×（k+4）•3^k-1＞（k+1+3）•3^k+1-1=右邊，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立．
綜上（1）（2）可得：不等式：4ⁿ＞（n+3）•3^n-1（n∈N^*，且n＞2）成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．