Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-$\frac{2\sqrt{a}}{a}x$+$\frac{2\sqrt{a}}{a}$-1（a＞0），求證：“任意x≥1，f（x）≥0都成立”的充要條件是“a≥1“．

Answer 1

分析 f（x）=$（x-\frac{\sqrt{a}}{a}）^{2}$-$\frac{1}{a}$+$\frac{2\sqrt{a}}{a}$-1（a＞0），由任意x≥1，f（x）≥0都成立?$\frac{\sqrt{a}}{a}$≤1，f（1）≥0，a＞0，解出即可得出．

解答 證明：f（x）=$（x-\frac{\sqrt{a}}{a}）^{2}$-$\frac{1}{a}$+$\frac{2\sqrt{a}}{a}$-1（a＞0），
由任意x≥1，f（x）≥0都成立?$\frac{\sqrt{a}}{a}$≤1，f（1）≥0，a＞0，解得a≥1．
∴“任意x≥1，f（x）≥0都成立”的充要條件是“a≥1”．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、充要條件的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．