Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且各項(xiàng)均不等于零，a_n+1+2a_na_n+1-a_n=0，（n∈N^*）
（1）求證數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列；
（2）若a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1＞

21

43

，求n的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件變形，得到

1

an+1

-

1

an

=2，由此證明數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列．
（2）由（1）得到

an= 1 2n-1 (n∈N+)

，從而得到a_na_n+1=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，由此得到a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=

n

2n+1

＞

21

43

，由此能求出n的取值范圍．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且各項(xiàng)均不等于零，
a_n+1+2a_na_n+1-a_n=0，（n∈N^*）
∴

1

an+1

-

1

an

=2，
∴數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列．
（2）由（1）知，數(shù)列{

1

an

}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴

1

an

=1+(n-1)•2=2n-1，
∴{a_n}的通項(xiàng)公式為

an= 1 2n-1 (n∈N+)

，
∴a_na_n+1=

1

2n-1

•

1

2n+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1
=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

，
∵a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1＞

21

43

，
∴

n

2n+1

＞

21

43

，解得n＞21，
∵n∈N^*，∴n≥22，n∈N^*．
∴n的取值范圍{n|n≥22，n∈N^*}．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列前n項(xiàng)和的求法及其應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．