Question

已知圓C₁：x²+y²+2mx-2（2m-1）y+4m²-4m=0，圓C₂：（x-1）²+（y+1）²=4．
（1）若圓C₁始終平分圓C₂的周長，求m；
（2）求圓C₁的圓心的軌跡方程．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：直線與圓

分析：（1）若圓C₁始終平分圓C₂的周長，則C₂的圓心在公共弦上，將兩圓的方程相減的得公共弦方程為（2m+2）x-4my+4m²-4m+2=0，將圓心坐標(biāo)代入即可．
（2）把圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程后得到：圓心為（-m，2m-1），令x=-m，y=2m-1，消去m即可得到y(tǒng)與x的解析式．

解答： 解：（1）圓C₁的x²+y²+2mx-2（2m-1）y+4m²-4m=0可化為，
圓C₂：（x-1）²+（y+1）²=4化為圓的一般式方程為x²+y²-2x+2y-2=0．
兩式相減得公共弦方程為（2m+2）x-4my+4m²-4m+2=0，
若圓C₁始終平分圓C₂的周長，則C₂的圓心（1，-1）在公共弦上，
∴把圓心（1，-1）代入（2m+2）x-4my+4m²-4m+2=0，
（2m+2）+4m+4m²-4m+2=0，
即4m²+2m+4=0，∴2m²+m+2=0，△＜0，無解
∴不存在m，使圓C₁始終平分圓C₂的周長．
（2）把圓C₁的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得（x+m）²+[y-（2m-1）]²=m²+1
則圓心坐標(biāo)為

x=-m y=2m-1

，所以消去m可得y=-2x-1即2x+y+1=0
故圓C₁的圓心的軌跡方程為：2x+y+1=0

點評：本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系，同時考查學(xué)生會將圓的方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程，會把直線的參數(shù)方程化為一般方程．