Question

已知函數(shù)f（x）=x²+

2

x

．
（1）求證：f（x）在x∈[1，+∞）上是增函數(shù)； 
（2）當x＞0時，若f（x）≥f（m）恒成立，求正實數(shù)m的值．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)單調性和導數(shù)之間的關系即可證明f（x）在x∈[1，+∞）上是增函數(shù)； 
（2）當x＞0時，若f（x）≥f（m）恒成立，則f（m）為函數(shù)的最小值，然后建立方程關系即可求正實數(shù)m的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²+

2

x

．
∴f'（x）=2x-

2

x2

=

2x3-2

x2

，
當x∈[1，+∞）時，f'（x）≥0，
即函數(shù)f（x）在x∈[1，+∞）上是增函數(shù)； 
（2）當x＞0時，若f（x）≥f（m）恒成立，
則f（x）_min≥f（m）恒成立，
由（1）知當0＜x＜1時，f'（x）＜0，即此時函數(shù)單調遞減，
∴當x=1時，函數(shù)f（x）取得極小值，同時也是在（0，+∞）上的最小值，
即f（1）=1+2=3，
∴若f（x）≥f（m）恒成立，
則f（m）為函數(shù)的最小值，
即正實數(shù)m=1．

點評：本題主要考查函數(shù)單調性的判斷和應用，利用不等式恒成立轉化為求函數(shù)的最值是解決本題的關鍵．