Question

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且有

tanA+tanC

3

=

sinB

cosC

．
（1）求cosA的值；
（2）若b=2，c=3，D為BC上一點(diǎn)．且

CD

=2

DB

，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）已知等式左邊利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系切化弦后，去分母整理，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，根據(jù)sinB不為0，求出cosA的值即可；
（2）由b，c，cosA的值，利用余弦定理求出a的值，進(jìn)而確定出|BC|的長(zhǎng)，根據(jù)

CD

=2

DB

，求出|CD|的長(zhǎng)，且利用余弦定理求出cosC的值，在三角形ACD中，利用余弦定理求出|AD|的長(zhǎng)即可．

解答： 解：（1）∵

tanA+tanC

3

=

sinB

cosC

，
∴

sinA

cosA

+

sinC

cosC

=

3sinB

cosC

，
去分母得：3sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB，
∵sinB≠0，
∴3cosA=1，
∴cosA=

1

3

；
（2）∵b=2，c=3，
∴a²=b²+c²-2bccosA=9，
∴|BC|=a=3，
∵

CD

=2

DB

，
∴|DC|=2，cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

9+4-9

12

=

1

3

，
∴|AD|²=2²+2²-2×2×2cosC=

16

3

，
∴|AD|=

4 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．