【題目】已知f(x)=xlnx,g(x)=x3+ax2﹣x+2 (Ⅰ)如果函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(﹣ ,1),求函數(shù)g(x)的解析式;
(Ⅱ)對一切的x∈(0,+∞),2f(x)≤g′(x)+2恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】解:(Ⅰ)g′(x)=3x2+2ax﹣1 由題意3x2+2ax﹣1<0的解集是(﹣ ,1),即3x2+2ax﹣1=0的兩根分別是﹣ ,1
將x=1或﹣ 代入方程3x2+2ax﹣1=0得a=﹣1,
∴g(x)=x3﹣x2﹣x+2
(Ⅱ)由題意知,2xlnx≤3x2+2ax﹣1+2在x∈(0,+∞)上恒成立
即a≥lnx﹣
設h(x)=lnx﹣ ,則
令h′(x)=0,得x=1,x=﹣ (舍),當0<x<1時,h′(x)>0;當x>1時,h′(x)<0
∴當x=1時,h(x)取得最大值,h(x)max=﹣2,.
∴a≥﹣2,即a的取值范圍是[﹣2,+∞)
【解析】(Ⅰ)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可知﹣ ,1是導函數(shù)所對應方程的兩個根,從而可求出a的值;(Ⅱ)2xlnx≤3x2+2ax﹣1+2在x∈(0,+∞)上恒成立將a分離可得a≥lnx﹣ ,設h(x)=lnx﹣ ,利用導數(shù)研究h(x)的最大值,可求出a的取值范圍.
【考點精析】掌握基本求導法則和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本,需要知道若兩個函數(shù)可導,則它們和、差、積、商必可導;若兩個函數(shù)均不可導,則它們的和、差、積、商不一定不可導;一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減.

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