Question

5．集合M是具有以下性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：對(duì)于任意a，b＞0，都有f（a）＞0，f（b）＞0，且f（a）+f（b）＜f（a+b）．
（1）試判斷函數(shù)f（x）=2^x-1是否屬于集合M？
（2）證明：集合M中的函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）a＞0，b＞0時(shí)，容易得出f（a）＞0，f（b）＞0，然后判斷f（a）+f（b）＜f（a+b）是否成立，可作差，提取公因式，便可得出f（a）+f（b）-f（a+b）=（2^a-1）（1-2^b）＜0，這樣便可得出f（a）+f（b）＜f（a+b），從而得出該函數(shù)屬于集合M；
（2）已知f（x）∈M，可根據(jù)增函數(shù)的定義來證明f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)：設(shè)任意的x₁＞x₂＞0，這樣便可設(shè)x₁=x₂+x₀，x₀＞0，然后作差，根據(jù)集合M中的函數(shù)所滿足的條件即可證明f（x₁）＞f（x₂），從而得出f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

解答 解：（1）任意的a，b＞0，都有f（a）=2^a-1＞0，f（b）=2^b-1＞0；
f（a）+f（b）-f（a+b）=2^a-1+2^b-1-2^a+b+1=2^a-1+2^b-2^a+b=（2^a-1）（1-2^b）；
∵a＞0，b＞0；
∴2^a-1＞0，1-2^b＜0；
∴f（a）+f（b）＜f（a+b）；
∴f（x）=2^x-1屬于集合M；
（2）證明：設(shè)f（x）∈M，設(shè)x₁＞x₂＞0，則存在x₀使x₁=x₂+x₀；
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₂+x₀）-f（x₂）＞f（x₂）+f（x₀）-f（x₂）=f（x₀）＞0；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，作差法比較兩個(gè)數(shù)的大小，增函數(shù)的定義，以及根據(jù)增函數(shù)的定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法，作差法比較f（x₁）與f（x₂），作差之后一般要提取公因式，從而判斷差的符號(hào)，以及對(duì)于集合M中函數(shù)所滿足條件的運(yùn)用．