Question

12．已知函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=m-x，m∈R．
（1）記h（x）=f（x）•g（x），求h（x）的極值；
（2）當(dāng)m=0時(shí)，試比較e^f（x-2）與-g（x）的大小．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)h（x）的導(dǎo)數(shù)，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出h（x）的極值；
（2）將m=0代入函數(shù)的表達(dá)式，x≤0時(shí)，顯然成立，x＞0時(shí)，通過(guò)討論函數(shù)的單調(diào)性從而得到結(jié)論．

解答 解：（1）由已知h′（x）=e^x（-x+m）+e^x（-1）=-e^x[x-（m-1）]，
令h′（x）=0得x=m-1．由下表

x	（-∞，m-1）	m-1	（m-1，+∞）
h′（x）	+	0	-

得h（x）_極大值=h（m-1）=e^m-1，h（x）無(wú)極小值；
（2）當(dāng)m=0時(shí)，e^f（x-2）=${e}^{{e}^{x-2}}$，-g（x）=x，
①當(dāng)x≤0時(shí)，顯然e^f（x-2）＞-g（x）．
②當(dāng)x＞0時(shí)，lne^f（x-2）=ln${e}^{{e}^{x-2}}$=e^x-2，ln[-g（x）]=lnx，
記函數(shù)φ（x）=e^x-2-lnx，則φ′（x）=e^x-2-$\frac{1}{x}$，可知φ′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
又φ′（1）＜0，φ′（2）＞0知，φ′（x）在（0，+∞）上有唯一實(shí)數(shù)根x₀，且1＜x₀＜2，
則φ′（x₀）=${e}^{{x}_{0}-2}$-$\frac{1}{{x}_{0}}$=0（1）
當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，φ′（x）＜0，φ（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（x₀，+∞），φ′（x）＞0，φ（x）單調(diào)遞增，
所以φ（x）≥φ（x₀）=${e}^{{x}_{0}-2}$-lnx₀，
結(jié)合 （1）式，${e}^{{x}_{0}-2}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$，知x₀-2=-lnx₀．
故φ（x）≥φ（x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}}$+x₀-2=$\frac{{{（x}_{0}-1）}^{2}}{{x}_{0}}$＞0．
則φ（x）=e^x-2-lnx＞0即e^x-2＞lnx所以${e}^{{e}^{x-2}}$＞x，
綜上：e^f（x-2）＞-g（x）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的大小比較，是一道中檔題．