已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），其長軸長為4，且點(diǎn)（1，
3
2
）在該橢圓上．直線l：x=my+1與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線y=kx（k＞0）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C，D，當(dāng)m=-1時(shí)，求四邊形ABCD 面積的最大值；
（3）在x軸上是否存在點(diǎn)M，使得直線MA與直線MB的斜率之積為定值．若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）利用長軸長為4，且點(diǎn)（1，
3
2
）在該橢圓上，求出a，b，即可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）表示出四邊形ABCD的面積，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值；
（3）直線x=my+1代入橢圓方程，表示出直線MA與直線MB的斜率之積，即可得出結(jié)論．
解答： 解：（1）由已知a=2，
點(diǎn)（1，
3
2
）代入橢圓方程，可得b=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
4
+y2=1；
（2）x=-y+1代入橢圓方程可得5x2-8x=0，∴A（0，1），B（1.6，-0.6）．
y=kx代入橢圓方程可得（1+4k2）x2=4，
∴|CD|=
1+k2
•
4
1+4k2
，
∴SABCD=
1
2
|CD|（dA-CD+db-CD）=
16
5
•
k+1
1+4k2
，
令f（x）=
x+1
4x2+1
，則f′（x）=
1-4x
(
4x2+1
)3

∴f（x）在（0，
1
4
）上遞增，在（
1
4
，+∞）上遞減，
∴k=
1
4
時(shí)，四邊形ABCD面積的最大值為
8
5
5
；
（3）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，0），則
直線x=my+1代入橢圓方程，可得（m2+4）y2+2my-3=0
∴kMA•kMB=
y1
x1-x0
•
y2
x2-x0
=
-3
(x02-4)m2+4(1-x0)2
，
∴x0=2時(shí)，直線MA與直線MB的斜率之積為定值-
1
12
．
點(diǎn)評：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查斜率的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求值：cos2
π
12
-sin2
π
12
=（　�。�
A、1
B、
1
2
C、
3
2
D、-
1
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

直線l1：（2-a）x+ay+3=0和直線l2：x-ay-3=0，若直線l1的法向量恰好是直線l2的方向向量，則實(shí)數(shù)a的值為（　�。�
A、-2B、1C、-2或1D、0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

一元二次不等式（x-1）（x-3）＜0的解集是（　�。�
A、（-∞，1）
B、（1，3）
C、（3，+∞）
D、（-∞，1）∪（3，+∞）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)P是橢圓
x2
4
+
y2
3
=1上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是左、右焦點(diǎn)．點(diǎn)Q滿足
PQ
與
F1P
是方向相同的向量，且|
PQ
|=|
PF2
|．
（1）求點(diǎn)Q的軌跡C的方程；
（2）是否存在斜率為1的直線l，使直線l與曲線C的兩個(gè)交點(diǎn)A、B滿足AF2⊥BF2？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
3
+y2=1．如圖所示，斜率為k（k＞0）且不過原點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為E，射線OE交橢圓C于點(diǎn)G，交直線x=-3于點(diǎn)D（-3，m）．
（Ⅰ）求證：mk=1
（Ⅱ）若|OG|2=|OD|•|OE|，
（i）求證：直線l過定點(diǎn)；
（ii）試問點(diǎn)B，G能否關(guān)于x軸對稱？若能，求出此時(shí)△ABG的外接圓方程；若不能，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

想造一間地面面積為12m2的背面靠墻的矩形小屋，正面墻的造價(jià)為400元/m2，側(cè)面墻的造價(jià)為150元/m2，屋頂和地面造價(jià)費(fèi)用合計(jì)5800元，如果墻高均為3m，且不計(jì)背面墻的費(fèi)用，問：側(cè)面墻長度為多少時(shí)，總造價(jià)最低？最低造價(jià)為多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=sin2x+sin2（x-
π
12
）+sin2（x+
π
12
），△ABC中，a，b，c是A，B，C所對的邊．
（Ⅰ）若x∈[-1，1]，求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）若a=2
3
，B=
π
4
，f（A）=
7+
3
4
，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=2-（
2
n
+1）an（n∈N+）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{
an
n
}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{2n+1an+1}的前n項(xiàng)和為Tn，求
1
T1
+
1
T2
+
1
T3
+…+
1
Tn
．

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同步練習(xí)冊答案