【題目】如圖,在平行四邊形中, ,分別過點(diǎn)作直線, 垂直平面,且, .
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)求二面角的平面角的正弦值.
【答案】(I)詳見解析;(II).
【解析】試題分析:(Ⅰ)設(shè).以點(diǎn)為原點(diǎn), 分別為軸,過點(diǎn)平行于的直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,通過證明, ,可得平面.
(II)由(Ⅰ)可求平面的法向量和平面的法向量,即可得二面角的平面角的正弦值.
試題解析:
(Ⅰ)設(shè).
由可知,平行四邊形為菱形,
∴.則以點(diǎn)為原點(diǎn), 分別為軸,
過點(diǎn)平行于的直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
那么, , , ,
∵, , ,
易得, ,
∴, ,又,
∴平面.
(II)由(Ⅰ)知, , , , ,設(shè)是平面的一個法向量,則, ,取,得.
設(shè)是平面的一個法向量,則, ,取,得.
則,
即得二面角的平面角的正弦值為.
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