【題目】已知拋物線的焦點到準線的距離為,直線與拋物線交于兩點,過這兩點分別作拋物線的切線,且這兩條切線相交于點.

(1)若的坐標為,求的值;

(2)設(shè)線段的中點為,點的坐標為,過的直線與線段為直徑的圓相切,切點為,且直線與拋物線交于兩點,證明: .

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析:

1)由題意可得拋物線的方程為,設(shè)切線的方程為,將其代入拋物線方程可得,根據(jù)判別式為零可得,驗證可得。(2)由條件得以線段為直徑的圓為圓,只考慮斜率為正數(shù)的直線,因為為直線與圓的切點,所以 ,故。又直線的方程為,將其代入拋物線方程由代數(shù)法可得弦長,從而可得結(jié)論成立。

試題解析

(1)由拋物線的焦點到準線的距離為,得

所以拋物線的方程為.

設(shè)切線的方程為

消去整理得,

,

時,可得的橫坐標為,則

時,同理可得.

綜上可得

(2)由(1)知, ,

所以以線段為直徑的圓為圓,

根據(jù)對稱性,只要探討斜率為正數(shù)的直線即可,

因為為直線與圓的切點,

所以, ,

所以,

所以,

所以直線的方程為,

消去整理得

因為直線與拋物線交于兩點,

所以,

設(shè)

所以

所以。

練習冊系列答案
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