Question

已知函數(shù)f(x)=

lnx+k

ex

(k為常數(shù)，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與x軸平行．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=（x²+x）f′（x），其中f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．證明：對任意x＞0，g（x）＜1+e^-2．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求出f′（x）=

1-kx-xlnx

xex

，x∈（0，+∞），由y=f（x）在（1，f（1））處的切線與x軸平行，得f′（1）=0，從而求出k=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）=

1

xex

（1-x-xlnx），x∈（0，+∞），令h（x）=1-x-xlnx，x∈（0，+∞），求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，從而得f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減；
（Ⅲ）因g（x）=

x+1

ex

（1-x-xlnx），x∈（0，+∞），由（Ⅱ）h（x）=1-x-xlnx，x∈（0，+∞），得1-x-xlnx≤1+e^-2，設(shè)m（x）=e^x-（x+1），得m（x）＞m（0）=0，進(jìn)而1-x-xlnx≤1+e^-2＜

ex

1+x

（1+e^-2），問題得以證明．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=

1-kx-xlnx

xex

，x∈（0，+∞），
且y=f（x）在（1，f（1））處的切線與x軸平行，
∴f′（1）=0，
∴k=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）=

1

xex

（1-x-xlnx），x∈（0，+∞），
令h（x）=1-x-xlnx，x∈（0，+∞），
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h（x）＞0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）＜0，
又e^x＞0，
∴x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，
x∈（1，+∞）時(shí)，f′x）＜0，
∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減；
證明：（Ⅲ）∵g（x）=（x²+x）f′（x），
∴g（x）=

x+1

ex

（1-x-xlnx），x∈（0，+∞），
∴?x＞0，g（x）＜1+e^-2?1-x-xlnx＜

ex

x+1

（1+e^-2），
由（Ⅱ）h（x）=1-x-xlnx，x∈（0，+∞），
∴h′（x）=-（lnx-lne^-2），x∈（0，+∞），
∴x∈（0，e^-2）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增，
x∈（e^-2，+∞）時(shí)，h（x）＜0，h（x）遞減，
∴h（x）_max=h（e^-2）=1+e^-2，
∴1-x-xlnx≤1+e^-2，
設(shè)m（x）=e^x-（x+1），
∴m′（x）=e^x-1=e^x-e⁰，
∴x∈（0，+∞）時(shí)，m′（x）＞0，m（x）遞增，
∴m（x）＞m（0）=0，
∴x∈（0，+∞）時(shí)，m（x）＞0，
即

ex

x+1

＞1，
∴1-x-xlnx≤1+e^-2＜

ex

1+x

（1+e^-2），
∴?x＞0，g（x）＜1+e^-2．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線的方程，是一道綜合題．