如圖,已知⊙O的直徑AB=3,點C為⊙O上異于A,B的一點,VC⊥平面ABC,且VC=2,點M為線段VB的中點.
(I)求證:BC⊥平面VAC;
(Ⅱ)若AC=1,求二面角M-VA-C的余弦值.
考點:用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的判定
專題:空間位置關(guān)系與距離
分析:(Ⅰ)由線面垂直得VC⊥BC,由直徑性質(zhì)得AC⊥BC,由此能證明BC⊥平面VAC.
(Ⅱ)分別以AC,BC,VC所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角M-VA-C的余弦值.
解答: (Ⅰ)證明:∵VC⊥平面ABC,BC?平面ABC,
∴VC⊥BC,
∵點C為⊙O上一點,且AB為直徑,
∴AC⊥BC,
又∵VC,AC?平面VAC,VC∩AC=C,
∴BC⊥平面VAC.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得BC⊥VC,VC⊥AC,AC⊥BC,
分別以AC,BC,VC所在直線為x軸,y軸,z軸,
建立空間直角坐標系,
則A(1,0,0),V(0,0,2),B(0,2
2
,0),
VA
=(1,0,-2),
AB
=(-1,2
2
,0)
,
設(shè)平面VAC的法向量
m
=
CB
=(0,2
2
,0),
設(shè)平面VAM的法向量
n
=(x,y,z),
x-2z=0
-x+2
2
y=0
,取y=
2
,得
x=4
z=2

n
=(4,
2
,2)
,
∴cos<
m
n
>=
4
2
2
×
16+2+4
=
11
11
,
∴二面角M-VA-C的余弦值為
11
11
點評:本題考查直線與平面垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長是2,點E、F分別是兩條棱的中點
(1)證明:四邊形EFBD是一個梯形;
(2)求三棱臺CBD-C1FE的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖P是△ABC所在平面外一點,PA=PB,CB⊥平面PAB,M是PC的中點,N是AB上的點,AN=3NB.求證:MN⊥AB.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

點A(1,1)在圓C:x2+y2-x+y+m=0的外部.
(1)求實數(shù)m的取值范圍; 
(2)若m=-
1
4
,且過點A(1,1)的直線l被圓C截得的弦長為
2
,求直線l的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖1,已知梯形ABCD,AB∥CD,且CD=2AB,E是CD邊上的中點,線段AE與BD交于點F.將△ADE沿AE翻折到△AD′E位置,連接D′B和D′C(如圖2).

(Ⅰ)直線BC上是否存在一點G,使EG∥平面BD′F,并說明理由;
(Ⅱ)若AD=BC=AB=2,平面AD′E⊥平面ABCE,求三棱錐C-BD′E的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1=1,
2Sn
n
=an+1-
1
3
n2-n-
2
3
,n∈N*
(Ⅰ) 求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ) 證明:對一切正整數(shù)n,有
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
7
4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知等比數(shù)列{an}滿足a3-a1=3,a1+a2=3.
(1)求數(shù)列{an}的前15項的和S15;
(2)若等差數(shù)列{bn}滿足b1=a2,b3=a2+a3,求數(shù)列{bn}的前10項的和T10

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,ABEDFC為多面體,平面ABED與平面ACFD垂直,點O在線段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODF,△ODE都是正三角形.
(1)證明:直線BC∥平面EFD;
(2)求異面直線OC與EF所成的角的余弦值;
(3)求二面角C-EF-D的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

△ABC中,已知A(-1,2),B(3,4),C(-2,5).
(1)求BC邊上的高AH所在的直線方程; 
(2)求△ABC的面積.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案