Question

如圖，ABEDFC為多面體，平面ABED與平面ACFD垂直，點O在線段AD上，OA=1，OD=2，△OAB，△OAC，△ODF，△ODE都是正三角形．
（1）證明：直線BC∥平面EFD；
（2）求異面直線OC與EF所成的角的余弦值；
（3）求二面角C-EF-D的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）設(shè)G是線段DA與EB延長線的交點．由已知條件推導(dǎo)出OB

∥ .

.

1

2

DE，OC

∥ .

.

1

2

DF，從而BC∥EF，由此能證明BC∥平面EFD．
（2）以O(shè)₁為原點，O₁E為x軸，O₁D為y軸，O₁F為z軸，建立空間坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線OC與EF所成的角的余弦值．
（3）求出平面CEF法向量和平面DEF的法向量，利用向量法能求出二面角C-EF-D的余弦值．

解答： （1）證明：設(shè)G是線段DA與EB延長線的交點．
由于△OAB與△ODE都是正三角形，
∴OB

∥ .

.

1

2

DE，OG=OD=2，
同理，設(shè)G'是線段DA與FC延長線的交點，有OG'=OD=2．
又由于G和G'都在線段DA的延長線上，
∴G與G'重合．在△GED和△GFD中，
由OB

∥ .

.

1

2

DE和OC

∥ .

.

1

2

DF，
知B和C分別是GE和GF的中點，
∴BC是△GEF的中位線，
故BC∥EF．又BC?平面EFD，
∴BC∥平面EFD．
（2）解：如圖，以O(shè)₁為原點，O₁E為x軸，O₁D為y軸，
O₁F為z軸，建立空間坐標(biāo)系，
則C(0，-

3

2

，

3

2

)，D（0，1，0），
E(

3

，0，0)，F(xiàn)(0，0，

3

)，
∴

OC

=(0，-

1

2

，

3

2

)，

EF

=(-

3

，0，

3

)
∴cos?

OC

，

EF

＞=

3 2 × 3

1× 3+3

=

3 2

1× 6

=

6

4

∴異面直線OC與EF所成的角的余弦值為

6

4

．
（3）證明：∵

CE

=(

3

，

3

2

，-

3

2

)，

CF

=(0，

3

2

，

3

2

)，
設(shè)平面CEF法向量為

n1

=(x1，y1，z1)
∴

n1 • CE = 3 x1+ 3 2 y1- 3 2 z1=0 n1 • CF = 3 2 y1+ 3 2 z1=0

，
令y₁=1，得

n1

=(

3

，1，-

3

)
同理可得平面DEF的法向量

n2

=(1，

3

，1)，
所以cos＜

n1

，

n2

＞=

3 + 3 - 3

7 × 5

=

105

35

，
∴二面角C-EF-D的余弦值為-

105

35

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查異面直線所成角的求法，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．