Question

已知函數(shù)f（x）=sinx，g（x）=x-

x3

6

（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點(diǎn)P（

π

4

，f（

π

4

））處的切線方程；
（Ⅱ）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，x＞f（x）＞g（x）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）中求出斜率，代入點(diǎn)斜式方程即可，（2）中令h（x）=x-sinx，通過(guò)求導(dǎo)得：h（x）是[0，+∞）上的增函數(shù)，問(wèn)題得解．令φ（x）=f（x）-g（x）同理可求．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得所求切線的斜率k=f′(

π

4

)=cos

π

4

=

2

2

．
由切點(diǎn)P(

π

4

，

2

2

)，得切線方程為y-

2

2

=

2

2

(x-

π

4

)．
即x-

2

y+1-

π

4

=0．
（Ⅱ）令h（x）=x-sinx，x∈[0，+∞），h'（x）=1-cosx≥0，
則h（x）是[0，+∞）上的增函數(shù)，故當(dāng)x＞0時(shí)，h（x）＞h（0）=0，
所以x-sinx＞0，即x＞f（x）．
令φ(x)=sinx+

x3

6

-x，x∈[0，+∞)，φ′(x)=cosx+

x2

2

-1，
令u（x）=φ'（x），x∈[0，+∞），u'（x）=x-sinx≥0，則u（x）是[0，+∞）上的增函數(shù)，
故當(dāng)x≥0時(shí)，u（x）≥u（0）=0，即φ'（x）≥0，因此φ（x）是[0，+∞）上的增函數(shù)，
則當(dāng)x＞0時(shí)，φ（x）＞φ（0）=0，即sinx+

x3

6

-x＞0，f（x）＞g（x）．
綜上，x＞0時(shí)，x＞f（x）＞g（x）．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的大小．