Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若f（x）滿足條件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[

a

2

，

b

2

]，則成f（x）為“倍縮函數(shù)”，若函數(shù)f（x）=log₂（2^x+t）為“倍縮函數(shù)”，則t的范圍是（　�。�

• A、（0，

  1

  4

  ）
• B、（0，1）
• C、（0，

  1

  2

  ]
• D、（

  1

  4

  ，+∞]

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：新定義

分析：由題意得，函數(shù)是增函數(shù)，構(gòu)造出方程組，利用方程組的解都大于0，求出t的取值范圍．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

log

(2x+t) 2

為“倍縮函數(shù)”，
且滿足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[

a

2

，

b

2

]，
∴f（x）在[a，b]上是增函數(shù)；
∴

log (2a+t) 2 = a 2 log (2b+t) 2 = b 2

，
即

2a+t=2 a 2 2b+t=2 b 2

，
∴方程2x-2

x

2

+t=0有兩個(gè)不等的實(shí)根，且兩根都大于0；
∴

(-1)2-4t＞0 t＞0

，
解得：0＜t＜

1

4

，
∴滿足條件t的范圍是（0，

1

4

），
故答案選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的值域問(wèn)題，解題時(shí)構(gòu)造函數(shù)，滲透轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．