Question

如圖，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=PC=AC=1，BC=2，又∠ACB=120°，AB⊥PC．
（1）求證：平面PAC⊥平面ABC；
（2）求二面角M-AC-B的平面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出PC⊥平面ABC，由此能證明平面PAC⊥平面ABC．
（2）幾何法：取BC的中點(diǎn)N，則CN=1，連接AN，MN，由已知條件能推導(dǎo)出MN⊥平面ABC，作NH⊥AC，得到∠MHN為二面角M-AC-B的平面角，由此能求出結(jié)果．
向量法：在平面ABC內(nèi)，過(guò)C作CD⊥CB，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，利用向量法能求出二面角M-AC-B的平面角的余弦值．

解答： （1）證明：∵PC⊥AB，PC⊥BC，AB∩BC=B，
∴PC⊥平面ABC，…（2分）
又∵PC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面ABC．…（5分）
（2）解法一：（幾何法）
取BC的中點(diǎn)N，則CN=1，連接AN，MN，
∵PM∥CN，PM=CN
∴MN∥PC，MN=PC，
從而MN⊥平面ABC
作NH⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于H，連接MH，則由三垂線定理知，AC⊥NH，
∴∠MHN為二面角M-AC-B的平面角
在△CNH中，NH=CN•sin∠NCH=1×

3

2

=

3

2

，
在△MNH中，MH=

NH2+MN2

=

( 3 2 )2+12

=

7

2

則cos∠MHN=

NH

MH

=

21

7

．
解法二：（向量法）
在平面ABC內(nèi)，過(guò)C作CD⊥CB，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz（如圖）…（6分）
由題意有A（

3

2

，-

1

2

，0），M（0，0，1）
∴

CM

=（0，1，1），

CA

=（

3

2

，-

1

2

，0），
設(shè)平面MAC的一個(gè)法向量為

n

=(x1，y1，z1)，
則

n

•

CM

=0，

n

•

CA

=0，
∴

y1+z1=0 3 2 x1- 1 2 y1=0

，取x₁=1，得

n

=(1，

3

，-

3

)…（9分）
平面ABC的法向量取為

m

=(0，0，1)…（10分）
設(shè)

m

與

n

所成的角為θ，則cosθ=

- 3

1× 7

=-

21

7

，…（11分）
顯然，二面角M-AC-B的平面角為銳角，
故二面角M-AC-B的平面角的余弦值為

21

7

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．