Question

向量

a

=(sin

kπ

6

x，

1

2

)，

b

=(

3

2

，cos

kπ

6

x)，k＞0．函數(shù)f(x)=

a

•

b

．
（Ⅰ）若k=12，求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移

2

k

個單位得到函數(shù)g（x），如果函數(shù)g（x）在x∈（0，2014]上至少存在2014個最值點，求k的最小值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運算,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）通過向量的數(shù)量積．利用k=12，通過正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅱ）通過將函數(shù)f（x）的圖象向左平移

2

k

個單位得到函數(shù)g（x），利用一個周期有兩個最值點，即可求解函數(shù)g（x）在x∈（0，2014]上至少存在2014個最值點，得到k的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵

a

=(sin

kπ

6

x，

1

2

)，

b

=(

3

2

，cos

kπ

6

x)，
∴f(x)=

a

•

b

=(sin

kπ

6

x，

1

2

)•(

3

2

，cos

kπ

6

x)
=

3

2

sin

kπ

6

x+

1

2

cos

kπ

6

x=sin(

kπ

6

x+

π

6

)，
∴f(x)=sin(

kπ

6

x+

π

6

)，k=12時，f(x)=sin(2πx+

π

6

)
由2kπ+

π

2

≤2πx+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
可得kπ+

π

6

≤πx≤kπ+

2π

3

，k∈Z，
∴k+

1

6

≤x≤k+

2

3

，k∈Z
∴函數(shù)f（x）的減區(qū)間為[k+

1

6

，k+

2

3

]．k∈Z．
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移

2

k

個單位得到函數(shù)g(x)=sin(

kπ

6

x+

kπ

6

×

2

k

+

π

6

)=cos

kπ

6

x，
即g(x)=cos

kπ

6

x，
∴g（x）的周期為T=

12

k

，每一個周期有兩個最值點，
∴x∈（0，2014]上至少有1007個周期，

12

k

×1007≤2014，k≥6，
∴k的最小值為6．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡求值，正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間的求法，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，基本性質(zhì)的綜合應(yīng)用．