Question

如圖，△BCD與△MCD都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，且AB=2

3

．
（1）求證：AB∥平面CDM；
（2）求平面ACM與平面BCD所成二面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取CD的中點(diǎn)O，連結(jié)MO，由已知條件推導(dǎo)出MO∥AB，由此能夠證明AB∥平面CDM．
（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面ACM與平面BCD所成二面角的余弦值．

解答： （1）證明：取CD的中點(diǎn)O，連結(jié)MO，
∵△CDM是正三角形，∴MO⊥CD，
∵AB⊥平面BCD，∴MO∥AB，
∵AB在平面CDM外，MO?平面CDM，
∴AB∥平面CDM．（6分）．
（2）解：如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意知C（0，1，0），D（0，-1，0），M（0，0，

3

），
B（

3

，0，0），A（

3

，0，2

3

），
∴

MC

=(0，1，-

3

)，

MA

=(

3

，0，

3

)，
設(shè)平面ACM的一個(gè)法向量為

n1

=(x，y，z)，
則

n1

•

MC

=0，

n1

•

MA

=0，（8分）
∴

y- 3 z=0 3 x+ 3 z=0

，∴

n1

=(-1，

3

，1)，（9分）
∵平面BCD的法向量

n2

=（0，0，1），
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

1

1× 5

=

5

5

，
∴平面ACM與平面BCD所成二面角的余弦值為

5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．