Question

已知P是△ABC所在平面α外一點(diǎn)，O是點(diǎn)P在平面α內(nèi)的射影
（1）若P到△ABC的三個頂點(diǎn)的距離相等，則O是△ABC外心；
（2）若PA、PB、PC與平面α所成的角相等，則O是△ABC的內(nèi)心；
（3）若P到△ABC三邊距離相等，且O在△ABC的內(nèi)部，則O是△ABC的內(nèi)心；
（4）若平面PAB、PBC、PCA與平面α所成的角相等，且O在△ABC的內(nèi)部，則O是△ABC的外心；
（5）若PA、PB、PC兩兩垂直，則O是△ABC的垂心．
其中正確命題的序號是

 

（把你認(rèn)為正確命題的序號都寫上）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：先跟據(jù)條件畫出圖形，通過直線與平面所成角、二面角以及直線與平面垂直，內(nèi)角平分線判斷出五個命題中得出垂心，外心，內(nèi)心，正確命題即可．

解答： 解：對于（1），如圖P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，O是P點(diǎn)在平面a上的射影．
若P到△ABC三個頂點(diǎn)的距離相等，由條件可證得OA=OB=OC，
由三角形外心的定義可知，此時O是三角形ABC的外心，
∴命題（1）正確；
對于（2），∠PAO=∠PBO=∠PCO⇒AO=BO=CO⇒O為三角形的外心，
∴命題（2）不正確．
對于（3），在△ABC內(nèi)部取一點(diǎn)P使得點(diǎn)P到△ABC的三邊距離相等，
∴點(diǎn)P應(yīng)是△ABC的三內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)．三內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)，則O是△ABC的內(nèi)心，
∴命題（3）正確；
對于（4），∠PEO=∠PFO=∠PDO⇒OD=OE=OF⇒O為三角形的內(nèi)心．則O是△ABC的外心，命題（4）不正確．
對于（5），連結(jié)AO并延長，交BC與D連結(jié)BO并延長，交AC與E；
因PA⊥PB，PA⊥PC，故PA⊥面PBC，故PA⊥BC；
因PO⊥面ABC，故PO⊥BC，故BC⊥面PAO，
故AO⊥BC即AO⊥BC；
同理：BO⊥AC；
故O是△ABC的垂心．
∴命題（5）正確；
故答案為：（1）（3）（5）．

點(diǎn)評：本題考查三角形內(nèi)的特殊點(diǎn)內(nèi)心，外心，垂心，此是三角形�？嫉囊环N題型，同時考查了線面垂直的定義與三角形的全等等知識．