Question

已知函數(shù)．
（1）若a=1，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若f（x）在[1，e]的最小值為，求a的值；
（3）若f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當a=1時，，．…（1分）
∴，
∴曲線y=f（x）在點（1，-1）處的切線方程為y+1=2（x-1），
即2x-y-3=0．…（3分）
（2）由題意其導(dǎo)函數(shù)為：．…（4分）
①若a≥-1，則x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，此時f（x）在[1，e]上為增函數(shù)，…（5分）
∴，∴（舍去）； …（6分）
②若a≤-e，則x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，此時f（x）在[1，e]上為減函數(shù)，
…（7分）∴，∴（舍去）； …（8分）
③若-e＜a＜-1，令f′（x）=0得x=-a，
當-a＜x＜e時，f′（x）＞0，∴f（x）在（-a，e）上為增函數(shù)，
當1＜x＜-a時，f′（x）＜0，∴f（x）在（1，-a）上為減函數(shù)，…（9分）
∴，∴．
綜上所述，．…（10分）
（3）∵f（x）＜x²，∴，又x＞0，∴a＞xlnx-x³．…（11分）
令g（x）=xlnx-x³，則h（x）=g′（x）=1+lnx-3x²，．…（12分）
∵當x∈（1，+∞）時，h′（x）＜0，∴h（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)．
∴h（x）＜h（1）=-2＜0，即g′（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上也是減函數(shù)．
∴g（x）＜g（1）=-1，…（13分）
∴當a≥-1時，f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立．…（14分）
分析：（1）只需把a=1代入函數(shù)，分別求得f（1），f′（1），即可寫出切線的方程；（2）求得導(dǎo)數(shù)，然后通過分類討論的方式分別對三種情況加以考慮，得出結(jié)論；（3）把恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)、不等式、函數(shù)的單調(diào)性、最值等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬難題．