Question

16．如圖所示，已知A、B兩點(diǎn)的距離為100海里，B在A的北偏東30°處，甲船自A以50海里/小時(shí)的速度向B航行，同時(shí)乙船自B以30海里/小時(shí)的速度沿方位角150°方向航行．問(wèn)航行幾小時(shí)兩船之間的距離最短？

Answer 1

分析 設(shè)x小時(shí)后甲船到達(dá)C點(diǎn)，乙船到達(dá)D點(diǎn)，則BC=100-50x，BD=30x，由已知可得∠CBD=60°．由余弦定理得CD²=BC²+BD²-2BC•BD•cos∠CBD，即可得出結(jié)論．

解答 解：如圖，設(shè)x小時(shí)后甲船到達(dá)C點(diǎn)，乙船到達(dá)D點(diǎn)，
則BC=100-50x，BD=30x，由已知可得∠CBD=60°．
由余弦定理得CD²=BC²+BD²-2BC•BD•cos∠CBD，
即CD²=（100-50x）²+（30x）²-2（100-50x）•30x•cos60°
=100（49x²-130x+100），
當(dāng)x=$\frac{130}{2×49}$=$\frac{65}{49}$時(shí)CD²最小，即CD最小
所以航行$\frac{65}{49}$小時(shí)兩船之間距離最短．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查余弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確運(yùn)用余弦定理是關(guān)鍵．