Question

設(shè)C₁是以F為焦點(diǎn)的拋物線y²=2px（p＞0），C₂是以直線與為漸近線，以為一個(gè)焦點(diǎn)的雙曲線．
（1）求雙曲線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若C₁與C₂在第一象限內(nèi)有兩個(gè)公共點(diǎn)A和B，求p的取值范圍，并求的最大值； 
（3）若△FAB的面積S滿(mǎn)足，求p的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)雙曲線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用C₂是以直線與為漸近線，以為一個(gè)焦點(diǎn)的雙曲線，及a²+b²=c²，即可求得雙曲線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）將拋物線y²=2px代入，整理可得2x²-3px+6=0，根據(jù)C₁與C₂在第一象限內(nèi)有兩個(gè)公共點(diǎn)A和B，即可確定p的取值范圍，從而求出的最大值； 
（3）直線AB的方程為（x-x₁），求出F到直線AB的距離，從而可求面積S，根據(jù)，建立方程，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）設(shè)雙曲線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程為
∵C₂是以直線與為漸近線，以為一個(gè)焦點(diǎn)的雙曲線．
∴，
∵a²+b²=c²，
∴
∴雙曲線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）將拋物線y²=2px代入，整理可得2x²-3px+6=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞0，y₁＞0，x₂＞0，y₂＞0），則
∴
∵+y₁y₂==
∴當(dāng)且僅當(dāng)p=2時(shí)，的最大值為9；
（3）直線AB的方程為（x-x₁），即x-y-×x₁+y₁=0
∴F到直線AB的距離為d=
∴=
∵，
∴（）=
∴p=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查拋物線與雙曲線的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，綜合性強(qiáng)，難度大．