【題目】已知定義域為的函數(shù)存在兩個零點.
(1)求實數(shù)的取值范圍;
(2)若,求證: .
【答案】(1) ;(2)證明見解析.
【解析】試題分析:(1)分離參數(shù)得,借助函數(shù)的圖象進行求解;(2)由于,則在區(qū)間上單調(diào)遞增, ,故只需證明即可。由題知且,不妨設(shè),則,構(gòu)造,只需證明即可,利用導(dǎo)數(shù)的知識可求解。
試題解析:
(1)由.得。
令,則,
當(dāng)變化時, 及的變化情況如下表:
- | 0 | + | |
減 | 最小 | 增 |
由表可知,當(dāng)時, 有極小值,也為最小值,且最小值為,
當(dāng)時, ; 時, ,
∴
故在區(qū)間上存在兩個零點時, 的取值范圍為.
(2)∵, ∴ ,
又,
∴ ,
令,
則,
由題知且,不妨設(shè),則,
∴時, ,
∴在單調(diào)遞減,
∴時, ,
∴,
又,
∴ ,即,
∴,
∵在區(qū)間上單調(diào)遞增,
∴,得證.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),若以直角坐標(biāo)系中的原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為(為實數(shù).)
(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若曲線與曲線有公共點,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系,在我市某普通中學(xué)高中生中隨機抽取200名學(xué)生,得到如下2×2列聯(lián)表:
喜歡數(shù)學(xué)課 | 不喜歡數(shù)學(xué)課 | 合計 | |
男 | 30 | 60 | 90 |
女 | 20 | 90 | 110 |
合計 | 50 | 150 | 200 |
經(jīng)計算K2≈6.06,根據(jù)獨立性檢驗的基本思想,約有(填百分數(shù))的把握認為“性別與喜歡數(shù)學(xué)課之間有關(guān)系”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校數(shù)學(xué)課外興趣小組為研究數(shù)學(xué)成績是否與性別有關(guān),先統(tǒng)計本校高二年級每個學(xué)生一學(xué)期數(shù)學(xué)成績平均分(采用百分制),剔除平均分在30分以下的學(xué)生后,共有男生300名,女生200名,現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名學(xué)生,按性別分為兩組,并將兩組學(xué)生成績分為6組,得到如下所示頻數(shù)分布表.
分數(shù)段 | ||||||
男 | 3 | 9 | 18 | 15 | 6 | 9 |
女 | 6 | 4 | 5 | 10 | 13 | 2 |
附表及公式:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
k | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
(1)估計男、女生各自的平均分(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表),從計算結(jié)果看,數(shù)學(xué)成績與性別是否有關(guān);
(2)規(guī)定80分以上者為優(yōu)分(含80分),請你根據(jù)已知條件作出 列聯(lián)表,并判斷是否有90%以上的把握認為“數(shù)學(xué)成績與性別有關(guān)”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在處有極值10.
(1)求實數(shù)的值;
(2)設(shè),討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性.
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