Question

已知函數(shù)f（x）=kx+b的圖象過點(diǎn)（2，1）且方向向量

ν

=(1，-1)，若不等式f（x）≥x²+x-5
的解集為A⊆（-∞，a]
（1）求a的取值范圍；
（2）解不等式

x2-(a+3)x+2a+3

f(x)

＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法,一次函數(shù)的性質(zhì)與圖象

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由題意可得

k=-1 2k+b=1

，可得 f（x）的解析式．由 f（x）≥x²+x-5求得A=[-4，2]．再根據(jù)[-4，2]⊆（-∞，a]，可得a的范圍．
（2）不等式即（x-a）（x-2）（x-3）＞0，由（1）知 a≥2．再分當(dāng)a=2、2＜a＜3、a=3、a＞3四種情況，分別求得不等式的解集．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=kx+b的圖象過點(diǎn)（2，1）且方向向量

ν

=(1，-1)，
∴

k=-1 2k+b=1

⇒

k=-1 b=3

，
∴f（x）=-x+3．
∴由 f（x）≥x²+x-5⇒x²+2x-8≤0，
∴A=[-4，2]．
又[-4，2]⊆（-∞，a]，∴a≥2．
（2）

x2-(a+3)x+2a+3

f(x)

＜1⇒

x2-(a+3)x+2a+3

-x+3

＜1⇒

x2-(a+2)x+2a

x-3

＞0⇒（x-a）（x-2）（x-3）＞0，
由（1）知 a≥2．
當(dāng)a=2時(shí)，不等式的解集為（3，+∞）；
當(dāng)2＜a＜3時(shí)，不等式的解集為（2，a）∪（3，+∞）；
當(dāng)a=3時(shí)，不等式的解集為（2，3）∪（3，+∞）；
當(dāng)a＞3時(shí)，不等式的解集為（2，3）∪（a，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)，分式不等式的解法，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．