設,,其中是常數(shù),且.
(1)求函數(shù)的極值;
(2)證明:對任意正數(shù),存在正數(shù),使不等式成立;
(3)設,且,證明:對任意正數(shù)都有:.
(1) 當時,取極大值,但沒有極小值;(2)詳見解析;(3)詳見解析.
解析試題分析:(1)先求導,再討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,然后寫出函數(shù)的極值;(2)通過依次構造函數(shù)、和,利用導數(shù)來研究其單調(diào)性和最值情況,從而用來比較大小,最終達到證明不等式的目的; (3)先把所要證明的不等式的左邊轉(zhuǎn)變到函數(shù)的問題,得到相關的不等式,再借助(1)中的結論得到,最后取即可證得.
試題解析:(1)∵, 1分
由得,,
∴,即,解得, 3分
故當時,;當時,;
∴當時,取極大值,但沒有極小值. 4分
(2)∵,又當時,令,則
,
故,因此原不等式化為,即,
令,則,
由得:,解得,
當時,;當時,.
故當時,取最小值, 8分
令,則.
故,即.
因此,存在正數(shù),使原不等式成立. 10分
(3)對任意正數(shù),存在實數(shù)使,,
則,,
原不等式,
12分
由(1)恒成立,故,
取,即得,
即,故所證不等式成立. 14分
考點:1、導數(shù)的應用,2、函數(shù)單調(diào)性的應用,3、不等式的證明.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)(a,b均為正常數(shù)).
(1)求證:函數(shù)在內(nèi)至少有一個零點;
(2)設函數(shù)在處有極值,
①對于一切,不等式恒成立,求的取值范圍;
②若函數(shù)f(x)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
設函數(shù).
(1)在區(qū)間上畫出函數(shù)的圖象 ;
(2)設集合. 試判斷集合和之間
的關系,并給出證明 ;
(3)當時,求證:在區(qū)間上,的圖象位于函數(shù)圖象的上方.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)滿足,且 在上恒成立.
(1)求的值;
(2)若,解不等式;
(3)是否存在實數(shù),使函數(shù)在區(qū)間上有最小值?若存在,請求出實數(shù)的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(Ⅰ)當時,求曲線在原點處的切線方程;
(Ⅱ)當時,討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性;
(Ⅲ)證明不等式對任意成立.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(Ⅰ)請寫出函數(shù)在每段區(qū)間上的解析式,并在圖中的直角坐標系中作出函數(shù)的圖象;
(II)若不等式對任意的實數(shù)恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知a>0,a≠1,設p:函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞減,q:曲線y=x2+(2a-3)x+1與x軸交于不同的兩點.如果p與q有且只有一個正確,求a的取值范圍
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