Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足，an+2＝3an+1﹣2an，a1＝1，a2＝3，記bn，Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.

（1）求證：{an+1﹣an}為等比數(shù)列，并求an；

（2）求證：Sn.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；an＝2n﹣1，n∈N*；（2）證明見解析

【解析】

(1)將題干中遞推公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化可得，從而可證得數(shù)列{an+1﹣an}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則有，n∈N*.然后根據(jù)此遞推公式的特點(diǎn)運(yùn)用累加法可計(jì)算出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)先根據(jù)第(1)題的結(jié)果計(jì)算出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立，注意在具體證明過程中運(yùn)用分析法證明根式不等式成立，綜合即可證得不等式成立.

證明：（1）依題意，由an+2＝3an+1﹣2an，可得：

，

∵a2﹣a1＝3﹣1＝2，

∴數(shù)列{an+1﹣an}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

∴，n∈N*.

故a1＝1，

a2﹣a1＝21，

a3﹣a2＝22，

…

an﹣an﹣1＝2n﹣1，

各項(xiàng)相加，可得

an＝1+21+22+…+2n﹣12n﹣1，n∈N*.

（2）由（1）知，bn，

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立，

①當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝b1，

∵右邊，

要證明：，

只要證明：2，

兩邊平方，可得，

化簡(jiǎn)整理，得27，

∵（2）2＝40＜72＝49，

∴成立，

即當(dāng)n＝1時(shí)，不等式成立.

②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，不等式成立，即Sk，

則當(dāng)n＝k+1時(shí)，，

要證明：Sk+1，

只要證明：，

，

化簡(jiǎn)，得，

兩邊平方，可得（）2≤（）2，

化簡(jiǎn)整理，得3k+7，

兩邊平方，可得（3k+4）（3k+10）≤（3k+7）2，

化簡(jiǎn)整理，得9k2+42k+40≤9k2+42k+49，

∵40＜49，

∴9k2+42k+40≤9k2+42k+49成立，

∴成立，

即：Sk+1成立，

∴當(dāng)n＝k+1時(shí)，不等式也成立.

綜上所述，可得

對(duì)n∈N*成立，故得證.