Question

12．已知函數(shù)y=cos²α-asinα+b，且-4≤y≤0，求a，b．

Answer 1

分析 化簡可得y=-（sinα+$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{4}$+b+1，看作關于sinα的二次函數(shù)，分類討論可得a和b的方程組，解方程組可得答案．

解答 解：化簡可得y=cos²α-asinα+b=-sin²α-asinα+b+1=-（sinα+$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{4}$+b+1
由二次函數(shù)可知當-$\frac{a}{2}$≤-1即a≥2時，上式在sinα=-1時取最大值，在sinα=1時取最小值，
∵-4≤y≤0，∴函數(shù)的最大值和最小值分別為0和-4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+a+b+1=0}\\{-1-a+b+1=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，符合題意；
當-1＜-$\frac{a}{2}$≤0即0≤a＜2時，上式在sinα=-$\frac{a}{2}$時取最大值，在sinα=1時取最小值，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{2}}{4}+b+1=0}\\{-1-a+b+1=-4}\end{array}\right.$，解得a=2或a=-6，均不滿足0≤a＜2，應舍去；
當0＜-$\frac{a}{2}$≤1即-2≤a＜0時，上式在sinα=-$\frac{a}{2}$時取最大值，在sinα=-1時取最小值，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{2}}{4}+b+1=0}\\{-1+a+b+1=-4}\end{array}\right.$，解得a=-2或a=6，a=-2滿足題意，此時b=-2；
當-$\frac{a}{2}$＞1即a＜-2時，上式在sinα=1時取最大值，在sinα=-1時取最小值，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+a+b+1=-4}\\{-1-a+b+1=0}\end{array}\right.$，解得或a=-2，不滿足a＜-2，應舍去；
綜上可得ab的值為$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=-2}\end{array}\right.$

點評 本題考查三角函數(shù)的最值，涉及二次函數(shù)的最值和分類討論的思想，屬中檔題．