Question

已知圓C的圓心在直線y=x-1上，且A（2，0），B（

9

5

，

3

5

）在圓C上．
（1）求圓C的方程；
（2）若圓M：x²+（y-2

2

）²=r²（r＞0）與圓C相切．求直線y=

7

x截圓M所得弦長．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）設(shè)出圓的一般方程，利用待定系數(shù)法即可求圓C的方程；
（2）根據(jù)圓與圓相切的條件，結(jié)合直線和圓心相交的弦長公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)圓的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
∵圓心在直線y=x-1上，且A（2，0），B（

9

5

，

3

5

）在圓C上，
∴

- E 2 =- D 2 -1 4+2D+F=0 18 5 + 9 5 D+ 3 5 E+F=0

，解得

D=-2 E=0 F=0

，
即圓C的方程為x²+y²-2x=0；
（2）∵圓M：x²+（y-2

2

）²=r²（r＞0）與圓C相切．
∴圓心M坐標(biāo)為（0，2

2

），
圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）²+y²=1，
圓心C坐標(biāo)為（1，0），半徑R=1，
當(dāng)兩圓外切時(shí)，|CM|=3=1+r，解得r=2，
當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，|CM|=3=r-1，解得r=4，
∵M(jìn)當(dāng)直線y=

7

x的距離d=

|2 2 |

7+1

=

2 2

2 2

=1，
∴當(dāng)r=2時(shí)，直線y=

7

x截圓M所得弦長l=2

22-12

=2

3

，
∴當(dāng)r=4時(shí)，直線y=

7

x截圓M所得弦長l=2

42-12

=2

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓的方程的求解，以及直線弦長公式的應(yīng)用，利用兩圓相切的等價(jià)條件求出圓的半徑是解決本題的關(guān)鍵．