a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，bcosC+
3
bsinC-a-c=0
（1）求證A，B，C成等差數(shù)列；
（2）若a=2，△ABC的面積為
3
，求b，c；
（3）若a，b，c成等比數(shù)列，求sinAsinC的值；
（4）求sinA+sinC的取值范圍；
（5）若b=
3
，求2a+c的最大值．
考點(diǎn)：正弦定理,余弦定理
專題：計(jì)算題,解三角形
分析：（1）已知等式利用正弦定理化簡，整理后得到cosB=
1
2
，從而可證明sin2B=sin（A+C），可得2B=A+C，即可證明A，B，C成等差數(shù)列；
（2）由三角形面積公式，余弦定理即可求值；
（3）由b2=ac，cosB=
1
2
，結(jié)合正弦定理可求得sinAsinC的值；
（4）由三角形的內(nèi)角和定理及B的度數(shù)，表示出A+C的度數(shù)，用A表示出C，代入原式中利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可確定出范圍．
（5）由已知可得a+c=2
3
sin（C+
π
6
），由于
π
6
＜C+
π
6
＜
5π
6
，則
1
2
sin（C+
π
6
）≤1，即可求得a+c的取值范圍．
解答： 解：（1）∵bcosC+
3
bsinC-a-c=0，
∴利用正弦定理化簡得：sinBcosC+
3
sinBsinC-sinA-sinC=0，…①
即sinBcosC+
3
sinBsinC=sinA+sinC=sin（B+C）+sinC=sinBcosC+cosBsinC+sinC=sinBcosC+sinC（cosB+1），
∴
3
sinB=cosB+1，即sin（B-
π
6
）=
1
2
，
∵0＜B＜π，∴-
π
6
＜B-
π
6
＜
5π
6
，
∴B-
π
6
=
π
6
，即B=
π
3
；
∴cosB=
1
2

∴sin2B=2sinBcosB=sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C）
∴2B=A+C
∴A，B，C成等差數(shù)列．
（2）將bcosC+
3
bsinC-a-c=0，利用正弦定理化簡得：sinBsinC+
3
sinBsinC-sinA-sinC=0，
即sinBsinC+
3
sinBsinC=sinA+sinC=sin（B+C）+sinC=sinBcosC+cosBsinC+sinC，
∴
3
sinB=cosB+1，即sin（B-
π
6
）=
1
2
，
∵0＜B＜π，∴-
π
6
＜B-
π
6
＜
5π
6
，
∴B-
π
6
=
π
6
，即B=
π
3
；
∵a=2
∵S△ABC=
1
2
acsinB=
3
4
ac=
3
，
∵c=2，
∴由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB=4+4-2×2×2×
1
2
=4，即可解得：b=2．
（3）由已知b2=ac，根據(jù)正弦定理得sin2B=sinAsinC，
又cosB=
1
2
，
∴sinAsinC=1-cos2B=
3
4

（4）∵A+B+C=π，B=
π
3
，
∴A+C=
2π
3
，即C=
2π
3
-A，
則sinA+sinC=sinA+sin（
2π
3
-A）=sinA+sin
2π
3
cosA-cos
2π
3
sinA=sinA+
3
2
cosA+
1
2
sinA=
3
2
sinA+
3
2
cosA=
3
sin（A+
π
6
），
∵A為三角形的內(nèi)角，且B=
π
3
，
∴0＜A＜
2π
3
，即
π
6
＜A+
π
6
＜
5π
6
，
∴sinA+sinC的取值范圍是（
3
2
，
3
）．
（5）A+C=π-B=
2π
3
，則0＜C＜
2π
3
，
則a+c=bcosC+
3
bsinC=
3
cosC+3sinC=2
3
（
1
2
cosC+
3
2
sinC）=2
3
sin（C+
π
6
），
由于
π
6
＜C+
π
6
＜
5π
6
，則
1
2
sin（C+
π
6
）≤1，
則a+c的取值范圍是（
3
，2
3
]．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵，題量較大，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若向量
a
，
b
滿足：|
a
|=
2
，|
b
|=2且（
a
-
b
）⊥
a
，則
a
與
b
的夾角是（　�。�
A、
π
6
B、
π
4
C、
π
3
D、
5
12
π

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知n∈N*，數(shù)列{dn}滿足dn=
3+(-1)n
2
，數(shù)列{an}滿足an=d1+d2+d3+…+d2n；數(shù)列{bn}為公比大于1的等比數(shù)列，且b2，b4為方程x2-20x+64=0的兩個(gè)不相等的實(shí)根．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）將數(shù)列{bn}中的第a1項(xiàng)，第a2項(xiàng)，第a3項(xiàng)，…，第an項(xiàng)，…刪去后剩余的項(xiàng)按從小到大的順序排成新數(shù)列{cn}，求數(shù)列{cn}的前2015項(xiàng)和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

數(shù)列{an}滿足a1=2，an=
an+1-1
an+1+1
，其前n項(xiàng)積Tn，則T2015=（　�。�
A、1B、-6C、2D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）和g（x）滿足：①在區(qū)間[a，b]上均有定義；②函數(shù)y=f（x）-g（x）在區(qū)間[a，b]上至少有一個(gè)零點(diǎn)，則稱f（x）和g（x）在[a，b]上具有關(guān)系G．
（1）若f（x）=lgx，g（x）=3-x，試判斷f（x）和g（x）在[1，4]上是否具有關(guān)系G，并說明理由；
（2）若f（x）=2|x-2|+1和g（x）=mx2在[1，4]上具有關(guān)系G，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

據(jù)報(bào)道，全國很多省市將英語考試作為高考改革的重點(diǎn)，一時(shí)間“英語考試該如何改”引起廣泛關(guān)注，為了解某地區(qū)學(xué)生和包括老師、家長在內(nèi)的社會(huì)人士對(duì)高考英語改革的看法，某媒體在該地區(qū)選擇了3600人調(diào)查，就是否“取消英語聽力”的問題，調(diào)查統(tǒng)計(jì)的結(jié)果如下表：
態(tài)度
調(diào)查人群		應(yīng)該取消應(yīng)該保留無所謂
在校學(xué)生2100人120人y人
社會(huì)人士600人x人z人
已知在全體樣本中隨機(jī)抽取1人，抽到持“應(yīng)該保留”態(tài)度的人的概率為0.05．
（Ⅰ）現(xiàn)用分層抽樣的方法在所有參與調(diào)查的人中抽取360人進(jìn)行問卷訪談，問應(yīng)在持“無所謂”態(tài)度的人中抽取多少人？
（Ⅱ）已知y≥657，z≥55，若所選擇的在校學(xué)生的人數(shù)低于被調(diào)查人群總數(shù)的80%，則認(rèn)為本次調(diào)查“失效”，求本次調(diào)查“失效”的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
a
=（2，4，x），
b
=（2，y，2），若|
a
|=6，
a
⊥
b
，則x+y的值是（　�。�
A、-3或1B、3或-1
C、-3D、1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C的圓心在直線y=x-1上，且A（2，0），B（
9
5
，
3
5
）在圓C上．
（1）求圓C的方程；
（2）若圓M：x2+（y-2
2
）2=r2（r＞0）與圓C相切．求直線y=
7
x截圓M所得弦長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列命題中：
①函數(shù)f（x）=
1
x
在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)
②函數(shù)f（x）=x+
a
x
（x＞0）的最小值為2
a

③已知定義在R上周期為4的函數(shù)f（x）滿足f（2-x）=f（2+x），則f（x）一定為偶函數(shù)
④已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），則a+b+c=0是f（x）有極值的必要不充分條件；
⑤已知函數(shù)f（x）=x-sinx，若a+b＞0，則f（a）+f（b）＞0．
其中正確命題的序號(hào)為
 
（寫出所有正確命題的序號(hào)）．

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