Question

13．如圖，在Rt△ABC中，AC=BC，PA⊥平面ABC，PB與平面ABC成60°角
（1）求證：平面PBC⊥平面PAC；
（2）求二面角C-PB-A的正切值．

Answer 1

分析 （1）證明BC⊥PA，然后證明BC⊥平面PAC，利用平面與平面垂直的判定定理證明平面PBC⊥平面PAC；
（2）取AB的中點D，過D作DE⊥PB交PB于E，連接CE，說明∠CED就是二面角C-PB-A的平面角，通過在Rt△CDE中，求出二面角C-PB-A的正切值．

解答 （1）證明：∵PA⊥平面ABC，BC證明：
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥PA，
又∵BC⊥AC，且AC∩PA=A，∴BC⊥平面PAC，而BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAC；
（2）解：取AB的中點D，過D作DE⊥PB交PB于E，連接CE，
∵PA⊥平面ABC，
∴平面PAB⊥平面ABC，∴CD⊥平面PAB，而PB?平面PAB，
∴PB⊥CD，∴∠CED就是二面角C-PB-A的平面角，
令A(yù)C=2，則BC=2，在Rt△ABC中，AC=BC，∴AB=2$\sqrt{2}$，∴CD=$\sqrt{2}$，
又∵PB與平面ABC成60°角，PA⊥平面ABC，
∴∠PBA=60°，∴PB=4$\sqrt{2}$，PA=2$\sqrt{6}$，
易知△PAB∽△DEB，∴DE=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
在Rt△CDE中，
tan∠CED=$\frac{CD}{DE}$=$\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角C-PB-A的正切值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及計算能力．